Công thức tích phân Cauchy: từ đường cong đến giá trị hàm

Một ý tưởng đáng ngạc nhiên

Trong giải tích thực, biết giá trị của một hàm tại hai đầu một đoạn không cho chúng ta biết nhiều về những gì xảy ra bên trong. Nhưng với hàm chỉnh hình, câu chuyện hoàn toàn khác.

Giá trị trên một đường cong khép kín có thể quyết định giá trị tại mọi điểm bên trong. Đây là một trong những biểu hiện đẹp nhất của tính cứng trong giải tích phức.

Phát biểu công thức

Định lý 1 (Công thức tích phân Cauchy). Giả sử $f$ chỉnh hình trên một tập mở chứa đĩa đóng $\overline{D(a,R)}$. Với đường tròn $\gamma =\mathrm{\partial }D(a,R)$ định hướng dương và mọi $z$ bên trong đĩa,

$$\begin{array}{cccc}& f(z)=\frac{1}{2\pi i}{\int }_{\gamma }\frac{f(\zeta )}{\zeta -z}d\zeta \mathrm{.}& & \text{(1)}\end{array}$$

Công thức (1) cho thấy việc lấy tích phân quanh biên thực chất là một cách khôi phục giá trị của hàm.

Vì sao mẫu số lại là ζ − z?

Nhân tử $1\mathrm{/}(\zeta -z)$ tập trung thông tin quanh điểm $z$. Nếu tham số hóa một đường tròn nhỏ tâm $z$, ta có Vì thế tích phân của $1\mathrm{/}(\zeta -z)$ dọc đường tròn bằng $2\pi i$ — chính là hằng số chuẩn hóa xuất hiện trong công thức.

Phác thảo chứng minh

Chứng minh. Xét hàm $g(\zeta )=(f(\zeta )-f(z))\mathrm{/}(\zeta -z)$. Điểm kỳ dị tại $z$ là khử được, nên $g$ mở rộng thành hàm chỉnh hình trên đĩa. Theo định lý Cauchy, tích phân của $g$ quanh $\gamma$ bằng không. Tách hai hạng tử và dùng tích phân của $1\mathrm{/}(\zeta -z)$ bằng $2\pi i$, ta nhận được công thức.

□

Một ví dụ

Ví dụ 2. Tính tích phân của $e^{\zeta }\mathrm{/}\zeta$ trên đường tròn đơn vị, ngược chiều kim đồng hồ. Áp dụng công thức với $f(\zeta )=e^{\zeta }$ và $z=0$:

$${\int }_{\mathrm{\mid }\zeta \mathrm{\mid }=1}\frac{e^{\zeta }}{\zeta }d\zeta =2\pi i{e}^0=2\pi i\mathrm{.}$$

Những hệ quả đẹp

Lấy đạo hàm dưới dấu tích phân cho ta công thức đạo hàm cấp cao: Điều này chứng minh rằng một hàm khả vi phức trên miền mở sẽ khả vi vô hạn lần — một kết quả không đúng trong giải tích thực.

Nhận xét 3. Từ công thức này, ta còn đi đến bất đẳng thức Cauchy, định lý Liouville và một chứng minh thanh nhã của định lý cơ bản của đại số.

Tự mình khám phá

Bài tập 4. Tính tích phân ${\int }_{\mathrm{\mid }\zeta \mathrm{\mid }=2}\frac{\cos \zeta }{\zeta -\pi \mathrm{/}2}d\zeta$. Điều gì thay đổi nếu bán kính đường tròn là $1$?

Toán học thường bắt đầu từ một câu hỏi nhỏ. Ở đây, câu hỏi ấy là: nếu biết mọi thứ trên biên, liệu ta có thể biết điều gì bên trong?